no-img
matlabdan.ir

فراکتالی به نام مجموعه مندلبرو - matlabdan.ir


matlabdan.ir
جدیدترین دوره ها
وب سایت علمی آموزشی متلب دان، در زمینه آموزش زبان های برنامه نویسی پایتون و متلب فعالیت دارد.

ادامه مطلب

فراکتالی به نام مجموعه مندلبرو
zip
2020-10-25
۰ تومان

فراکتالی به نام مجموعه مندلبرو


مقدمه:

معمولاً قوانین اولیه هندسه به کلیه دانش آموزان آموزش داده می شود. این قوانین شامل: قضییه فیثاغورث، حجم و مساحت اشکال مختلف و … می باشد. قوانین فوق مربوط به هندسه کلاسیک یا اقلیدسی بوده و برای مطالعه اشکالی که انسان آنها را ساخته، مناسب است. اما اگر ساختارهای موجود در طبیعت را درنظر بگیریم، آنها به اندازه ساخته های بشری هموار نیستند، بنابراین قوانین هندسه کلاسیک برای بررسی آنها کافی نیست. مثلاً ابرها کره های کامل نیستند، کوه ها مخروط های متقارن نبوده و صاعقه در مسیر مستقیم حرکت نمی کند. به عبارتی طبیعت ناهموار بوده و تا سالهای اخیر بشر ابزاری برای اندازه گیری این ناهمواری در اختیار نداشته است. ابداع هندسه فراکتال ها به ما این امکان را داد تا این ناهمواری های موجود در طبیعت را ازنظر ریاضی کاوش و بررسی کنیم.

ورود نابغه:

در سال  ۱۹۶۱ریاضی دانی به نام Benoit Mandelbrot  (بنوآ مندلبرو) در مرکز تحقیقاتی توماس واتسون در Yorktown Heights در شهر نیویورک به عنوان یک محقق کار می کرد. جوانی که تازه فارغ التحصیل شده بود و باید جایی مناسبی برای خود پیدا می کرد. مندلبرو نمونه یک دانشمند کامل بوده که در IBM استخدام شد. کار وی بسیار ساده بود: IBM در حال ارسال داده های کامپیوتری روی خطوط تلفن بوده، اما یک نوع نویز سفید جریان اطلاعات را دچار اعوجاج می کرد و IBM از وی خواست تا روشی برای حل این مسئله ارائه دهد.

 Mandelbrot 

چون مندلبرو به تجسم گرافیکی علاقه دشت، بنابراین به جای استفاده از روش های تحلیلی شروع به بررسی نویز سفید با استفاده از اشکالی که ایجاد کرده بود نمود. با ترسیم این پدیده به سرعت ویژگی عجیبی را پیدا کرد. بدون توجه به اندازه شکل، که آیا داده ها مربوط به یک روز، یک ساعت یا یک ثانیه بودند، الگوی اختلال به طرز عجیبی با هم مشابه بود.

 Fractal 

آشنایی مندلبرو با فراکتال ها

این مسئله مشابه چیزی بود که سال ها قبل عمه فرانسوی و ریاضی دان مندلبرو از وی خواسته بود تا آنرا بررسی کند. وی از مندلبرو خواسته بود تا اشکال ایجاد شده با استفاده از روابط تکراری که توسط ریاضی دانان فرانسوی  Pierre Fatou و Gaston Julia مطرح شده بود را بررسی کند. کار آنها ریاضی دانان را کنجکاو کرد تا رابطه ساده z=z2+c با متغییر مختلطz  و پارامتر c را بررسی کنند.

 Mandelbro 

در آن زمان مندلبرو نتوانست نتیجه مهمی از کار آنها پیدا کند. اما با فرصت کافی که در IBM داشت توانست وقت بیشتری برای بررسی این مسئله صرف کند. در سال ۱۹۸۰ مندلبرو با استفاده از کامپیوترهای قدرتمند IBM این معادلات را بررسی کرد. نتایج شکل عجیبی بود، هرچه قدر وی به لبه های شکل نگاه می کرد دوباره ساختار کلی آن تکرار می شد و هر قسمت کوچکتری از شکل، دارای جزئیات پیچیده تری بود. میزان دقت شکل وابسته به کامپیوتری بود که معادلات را محاسبه می کرد و جزئیات شکل تا بی نهایت ادامه داشت. این شکل در واقع نوعی هندسه بود که تا آن زمان تعریف نشده بود. بعداً این شکل مجموعه مندلبرو نامیده شد.

 Mandelbro 

تاریخچه مجموعه مندلبرو:

فراکتال مندلبرو به حوزه ای از آنالیز مختلط به نام دینامیک های مختلط متعلق بوده که اولین بار توسط ریاضی دانان فرانسوی Pierre Fatou   و   Gaston Julia در اوایل قرن بیستم پایه ریزی شده است. این فراکتال اولین بار در سال ۱۹۷۸ به عنوان بخشی از کار مطالعاتی گروه Kleinian توسط Robert W. Brooks   و Peter Matelski  تعریف و رسم شده است. در اوایل سال ۱۹۸۰ در IMB و مرکز تحقیقاتی Thomas J. Watson Research Center مندلبرو اولین نمایش گرافیکی این مجموعه را نشان داد. به این خاطر این مجموعه به افتخار وی مجموعه مندلبرو نامیده شده است.

 Mandelbro 

 مندلبرو  بیشتر دوران کاری اش را در مرکز تحقیقاتی IBM Watson گذراند. وی واژه فرکتال (fractal) را ابداع کرد و در سال ۱۹۸۲ کتاب مشهوری در این مورد به نام The Fractal Geometry of Nature را منتشر کرد. در سال ۱۹۸۵ تصویری از مجموعه معروف به مندلبرو در روی جلد مجله معروفScientific American  به چاپ رسید. در این زمان استفاده از گرافیک کامپیوتری بسیار در دسترس بود. از آن زمان به بعد مجموعه مندلبرو موضوعات تحقیقاتی عمیقی را در ریاضیات ایجاد کرده است.

اصول ریاضی حاکم:

برای آشنایی با مجموعه مندلبرو  الگوریتم ساده زیر را درنظر بگیرید: فرض کنیم هر عدد مختلط را به توان دو برسانیم، پاسخ یک عدد مختلط است، حال عدد حاصل را مجدد به توان دو رسانده، اگر این روال را تا بی نهایت ادامه دهیم سوال این است که به ازای کدام مقادیر اولیه پاسخ کراندار باقی می ماند؟

 equation 

واضح است که در این حالت کلیه اعداد مختلط موجود در دایره واحد در این شرط صدق می کنند و اعداد بیرون دایره واحد خیر. این الگوریتم بسیار ساده بود و ناحیه جواب اعداد درون دایره واحد بوده که در شکل زیر نمایش داده شده است.

 circle 

تعریف مجموعه مندلبرو کمی پیچیده تر بوده و شامل اضافه کردن تکراری عدد اولیه در هر تکرار است. به این صورت که یک عدد مختلط را درنظر می گیریم، آنرا به توان دو رسانده و سپس با خودش جمع می کنیم. حاصل یک عدد مختلط است دوباره روال قبل را تکرار می کنیم حال اگر این کار تا بی نهایت تکرار شود به ازای چه مقادیر اولیه ای پاسخ کراندار است؟

 MandelEquation 

اگر برای کلیه نقاط موجود در صفحه مختلط شرط بالا را بررسی کنیم نقاطی که شرط را برآورده می کنند یعنی با میل k به بی نهایت، محدود می مانند در مجموعه مندلبرو قرار دارند. نکته جالب آن است که نقاطی که در مجموعه مندلبرو قرار داردن توزیع بسیار عجیبی دارند و ساختارهای گرافیکی بسیار زیبا و خیره کننده ای ایجاد می کنند. در شکل زیر نقاط سفید رنگ در مجموعه مندلبرو قرار داشته و نقاط مشکی رنگ در این مجموعه قرار ندارند.

 Mandelbrot 

برخی ویژگی های مجموعه مندلبرو

جالب است که تعریف به این سادگی می تواند ساختار بسیار پیچیده و عجیبی را تولید کند. چون عملاً نمی توان برای کلیه اعداد مختلط تا بی نهایت روال به توان۲ رساندن را تکرار کرد معمولاً تا یک سری تکرار مشخص این کار را انجام می دهند و برای بررسی محدود ماندن اعداد مختلط تولیدی در هر مرحله اندازه عدد را بررسی می کنند اگر کوچکتر از دو بود عدد در مجموعه مندلبرو قرار داشته و درغیراینصورت عدد در مجموعه قرار ندارد. چون اثبات شده است که برای یک عدد مختلط اگر اندازه آن از دو بیشتر شود قطعاً این عدد در مجموعه مندلبرو قرار ندارد.

شکل بالا دارای وضوح بالا نبوده تا جزئیات را در لبه های شکل نشان دهد. در حقیقت این مجموعه دارای رشته های بسیار ریزی بوده که در لبه ها ظاهر می شوند اما در شکل بالا نشان  داده نشده است. اخیراً اثبات شده که مجموعه فوق از نظر ریاضی پیوسته بوده اما آنقدر نازک بوده که نمی توان در روی صفحه گرافیکی با صرف زمان محدود آنرا نشان داد. هر چه قدر در لبه های شکل زوم کنیم باز ساختارهای گرافیکی جدیدی ظاهر می شوندکه پایان ناپذیرند! در زیر زوم انجام شده در قسمت هایی از لبه های شکل نشان داده شده:

 MandelZoom 

مجموعه مندلبرو خودمتشابه است. ناحیه های کوچک لبه های شکل ویژگی های شکل کلی را نشان می دهند. مرز مجموعه مندل یک منحنی فرکتال است. مجموعه مندل در خارج از ریاضیات هم به دلیل زیبایی آن و تولید ساختاری پیچیده از دل قوانین ساده بسیار معروف است.  با توسعه کامپیوترهای شخصی مجموعه مندل در طراحی اشکال گرافیکی جالب بسیار مورد استفاده قرار می گیرد.

mandelMandelmandel

در شکل زیر اولین نمایش کامپیوتری این مجموعه که در سال ۱۹۷۸ انجام شده آورده شده است.

 firstFractal 

کاربرد فراکتال ها:

این اشکال ریاضی و عجیب کاربردهای بسیار جالبی در زندگی بشر پیدا کرده اند. مثلاً در زیست شناسی الگوهای فراکتالی تقریباً در تمامی فرآیندهای فیزیولوژی بدن ظاهر می شوند. سالیان طولانی دانشمندان بر این باور بودند که قلب با ضربانی به صورت خطی و منظم می تپد اما مطالعات اخیر نشان داده است قلب سالم دارای نوساناتی با الگوی فراکتالی است. همچنین خون در سطح بدن به صورت فراکتالی جریان یافته است. دانشمندان از تصاویر مافوق صوتی استفاده کرده تا ویژگی های فراکتالی توزیع خون در کلیه های سالم و بیمار را بررسی کنند. آنها امیدوارند تا با اندازه گیری ابعاد فراکتال این جریان های خونی و با استفاده از مدل هایی ریاضی بتواند سریع تر از گذشته تشکیل سلول های سرطانی را پیش بینی کنند. با استفاده از روش مبتنی بر فراکتال ها پزشکان نیازی به تصاویر بسیار دقیق پزشکی یا ابزارهای قدرتمند برای دیدن ساختارهای بسیار کوچک ندارند. در عوض ریاضیات به جای میکروسکوپ ها تشخیص زودتر بیماری ها را فراهم خواهد کرد.

زیست شناسی و مراقبت از سلامت افراد تنها بخش کوچکی از کاربرد هندسه فراکتالی است. آنتن های با مبنای فراکتالی که وسیع ترین رنج فرکانسی را دریافت کرده در تجهیزات بی سیم بسیاری استفاده می شوند. برنامه های ویرایش تصویر و طراحی گرافیکی از فراکتال ها برای ایجاد طرح های پیچیده و زیبا استفاده می کنند. همچنین با تحلیل های آماری فراکتالی جنگل ها می توان اندازه گیری کرد که جنگل ها چه میزان کربن دی اکسید را می توانند به صورت ایمن جذب کنند. امروزه ما تنها به کاربردهای بسیار اندکی از فراکتال ها دست یافته ایم. اثبات شده که الگوهای آب و هوایی، تغییرات قیمت بازار سهام و خوشه های کهکشانی دارای رفتاری فراکتالی هستند. همچنین فراکتال ها در سینما ها، فشرده سازی تصاویر و… کاربرد دارد. با وجود زمان اندکی که از آشنایی بشر با این اشکال عجیب می گذرد اما کاربرد ها آنها بسیار جالب و هیجان انگیز بوده و قطعاً در آینده گسترده تر خواهند شد. 

 seahorse 

ناگفته نماند کلیه تصاویر مجموعه مندلبرو موجود در این صفحه توسط نرم افزار متلب رسم شده است.  همچنین مجموعه مندلبرو زیباترین ساختار ریاضی مورد علاقه من است 🙂 

شما می توانید فیلم آموزشی رایگان  رسم این فراکتال در متلب را از لینک رسم فراکتال مندلبرو دانلود نمایید.

نرم افزاری اندرویدی جالب جهت بررسی مجموعه مندلبرو دانلود

سایتی آنلاین جهت بررسی مجموعه مندلبرو MandelbrotFractal

منابع: Wikipedia  IBM  MathUtah  Book  TED



موضوعات :
برچسب‌ها :

درباره نویسنده

نویسنده رامین حسینی. مدیر وب سایت.

ramin 19 نوشته در matlabdan.ir دارد . مشاهده تمام نوشته های

مطالب مرتبط


    دیدگاه ها


    پاسخی بگذارید

    نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *