no-img
matlabdan.ir

تابعی به نام جادوگر اگنسی! - matlabdan.ir


matlabdan.ir
جدیدترین دوره ها
وب سایت علمی آموزشی متلب دان، در زمینه آموزش زبان های برنامه نویسی پایتون و متلب فعالیت دارد.

ادامه مطلب

تابعی به نام جادوگر اگنسی!
zip
2020-08-26
۰ تومان

تابعی به نام جادوگر اگنسی!


جادوگر اگنسی(Witch Of Agnesi) نام منحنی است که توسط ریاضی دان زن ایتالیایی Maria Agnesi  در سال  ۱۷۴۸ مورد بررسی قرار گرفته است. اگنسی در کتابش که به عنوان اولین کتاب ریاضی نوشته شده توسط یک زن نیز شناخته شده،  این منحنی را مطرح کرده است. وی نخستین فردی نبوده که این منحنی را ابداع کرده، این منحنی قبلاً نیز توسط ریاضی دانان بزرگی مانند فرمت، گرندی  و نیوتن مورد بررسی قرار گرفته است. اما به دلیل جالبی که در ادامه بیان می کنیم، این منحنی به اسم اگنسی و البته کلمه عجیب جادوگر نامگذاری شده است!

 ماری اگنسی 

نه این منحنی و نه خانم اگنسی رفتار جادویی و عجیبی داشته، پس دلیل نامگذاری منحنی چیست؟

در سال  ۱۸۰۱ میلادی Johan Colson پروفسور ریاضیات از دانشگاه کمبریج تصمیم گرفت کتاب اگنسی که به زبان ایتالیایی بود را به زبان انگلیسی ترجمه کند. او برای ترجمه واژه averisera به اشتباه واژه avversiera (به معنی جادوگر)  را ترجمه کرده و باعث شده که این منحنی به نام جادوگر اگنسی معروف و شناخته شود. ناگفته نماند که اسم منحصربه فرد این منحنی نیز بر معروف شدن آن افزوده است!

برای رسم این منحنی که در شکل زیر با رنگ قرمز نشان داده شده، ابتدا دایره ای به شعاع a و مرکز C(0, a)  را  رسم می کنیم:

  

سپس خطی از مبدا مختصات یعنی نقطه O(0,0)  تا خط افقی  y=2a رسم می کنیم. نقطه برخورد آن با خط y=2a را B نامیده. خط فوق دایره را در نقطه A قطع می کند. حال خطی افقی از نقطه A و خطی عمودی از نقطه B رسم کرده. نقطه برخورد این دو خط دارای مختصات (x,y) بوده که در شکل بالا با رنگ قرمز نشان داده شده است.

رابطه پارامتری منحنی برحسب زاویه θ:

زاویه θ همانطور که در شکل بالا نشان داده شده است زاویه بین محور y و خط OB تعریف می شود.

آنگاه داریم:

  

چون CA برابر a بوده و زاویه DCA برابر  بوده (چون مثلث OCA متساوی الساقین است) بنابراین داریم:

  

با کمی ساده سازی روابط مثلثاتی می توان نوشت:

  

بنابراین معادله پارامتری منحنی فوق برحسب θ به فرم زیر است:

  

رابطه منحنی برحسب x و y:

با استفاده از معادلات پارامتری بالا و استفاده از روابط مثلثاتی داریم:

  

با حل معادله بالا بر حسب y داریم:

  

این رابطه ریاضی معادله منحنی جادوگر است.

محاسبه مساحت محدود در زیر منحنی :

  

جالب است که مقدار فوق ۴ برابر مساحت دایره به شعاع a است.

برخی از ویژگی ها و کاربردها:

این منحنی دارای یک نقطه ماکزیمم منحصر به فرد در نقطه تماس با دایره اش بوده که در این نقطه دارای انحنای زیادی است. این نقطه تنها نقطه ای است که در آن انحنای منحنی برابر ماکزیمم محلی است. چون دایره در این نقطه منحنی را لمس می کند می گوییم که دایره در این نقطه دارای تماس مرتبه سوم است. منحنی دارای دو نقطه عطف در مختصات زیر است:

  

یا نقاطی که از رسم خط با زاویه θ = ۳۰ درجه بدست آمده نیز نقاط عطف را نشان می دهند.

  

جادوگر اگنسی دارای کاربردهایی در نظریه احتمال و تقریب تابعی چگالی احتمال کوشی است. مشتق تابع arctanx نیز دارای شکلی مانند تابع فوق است.

در پایان بیان می کنیم که این منحنی خاصیت آنچنان عجیبی نداشته که جادوگر نامگذاری شود اما یک اتفاق در ترجمه باعث این نام و این نام نیز باعث معروف شدن آن در دنیای ریاضیات شده است.

منابع:

Wikipedia Mathworld Mathcurve Math



موضوعات :
برچسب‌ها :

درباره نویسنده

نویسنده رامین حسینی. مدیر وب سایت.

ramin 19 نوشته در matlabdan.ir دارد . مشاهده تمام نوشته های

مطالب مرتبط


    دیدگاه ها


    2 پاسخ به “تابعی به نام جادوگر اگنسی!”

    1. علی گفت:

      عالی بود. اطلاعات خوبی را مطرح کردید.

    2. ramin گفت:

      خواهش می کنم

    پاسخی بگذارید

    نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *